【数据结构-线性&非线性】哈希表Hash-Table

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「哈希表 hash table」，又称「散列表」，其通过建立键 key 与值 value 之间的映射，实现高效的元素查询。具体而言，我们向哈希表输入一个键 key ，则可以在 O(1) 时间内获取对应的值 value 。

如图 6-1 所示，给定 N个学生，每个学生都有“姓名”和“学号”两项数据。假如我们希望实现“输入一个学号，返回对应的姓名”的查询功能，则可以采用图 6-1 所示的哈希表来实现。

除哈希表外，数组和链表也可以实现查询功能，它们的效率对比如表 6-1 所示。

添加元素：仅需将元素添加至数组（链表）的尾部即可，使用 O(1) 时间。
查询元素：由于数组（链表）是乱序的，因此需要遍历其中的所有元素，使用 O(n) 时间。
删除元素：需要先查询到元素，再从数组（链表）中删除，使用 O(n) 时间。

观察发现，在哈希表中进行增删查改的时间复杂度都是 O(1) ，非常高效。

哈希表常用操作

哈希表的常见操作包括：初始化、查询操作、添加键值对和删除键值对等。

/* 初始化哈希表 */
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();

/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.put(12836, "小哈");   
map.put(15937, "小啰");   
map.put(16750, "小算");   
map.put(13276, "小法");
map.put(10583, "小鸭");

/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
String name = map.get(15937);

/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.remove(10583);

哈希表有三种常用遍历方式：遍历键值对、遍历键和遍历值。

/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (Map.Entry <Integer, String> kv: map.entrySet()) {
    System.out.println(kv.getKey() + " -> " + kv.getValue());
}
// 单独遍历键 key
for (int key: map.keySet()) {
    System.out.println(key);
}
// 单独遍历值 value
for (String val: map.values()) {
    System.out.println(val);
}

哈希表简单实现

我们先考虑最简单的情况，仅用一个数组来实现哈希表。在哈希表中，我们将数组中的每个空位称为「桶 bucket」，每个桶可存储一个键值对。因此，查询操作就是找到 key 对应的桶，并在桶中获取 value 。

那么，如何基于 key 来定位对应的桶呢？这是通过哈希函数 hash function实现的。哈希函数的作用是将一个较大的输入空间映射到一个较小的输出空间。在哈希表中，输入空间是所有 key ，输出空间是所有桶（数组索引）。换句话说，输入一个 key ，我们可以通过哈希函数得到该 key 对应的键值对在数组中的存储位置。

输入一个 key ，哈希函数的计算过程分为以下两步:

通过某种哈希算法 hash() 计算得到哈希值。
将哈希值对桶数量（数组长度）capacity 取模，从而获取该 key 对应的数组索引 index
`index = hash(key) % capacity
随后，我们就可以利用 index 在哈希表中访问对应的桶，从而获取 value 。
设数组长度 capacity = 100、哈希算法 hash(key) = key ，易得哈希函数为 key % 100 。
图 6-2 以 key 学号和 value 姓名为例，展示了哈希函数的工作原理：

以下代码实现了一个简单哈希表。其中，将 key 和 value 封装成一个类 Pair ，以表示键值对。

/* 键值对 */
class Pair {
    public int key;
    public String val;

    public Pair(int key, String val) {
        this.key = key;
        this.val = val;
    }
}

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
    private List<Pair> buckets;

    public ArrayHashMap() {
        // 初始化数组，包含 100 个桶
        buckets = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            buckets.add(null);
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    private int hashFunc(int key) {
        int index = key % 100;
        return index;
    }

    /* 查询操作 */
    public String get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        Pair pair = buckets.get(index);
        if (pair == null)
            return null;
        return pair.val;
    }

    /* 添加操作 */
    public void put(int key, String val) {
        Pair pair = new Pair(key, val);
        int index = hashFunc(key);
        buckets.set(index, pair);
    }

    /* 删除操作 */
    public void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 置为 null ，代表删除
        buckets.set(index, null);
    }

    /* 获取所有键值对 */
    public List<Pair> pairSet() {
        List<Pair> pairSet = new ArrayList<>();
        for (Pair pair : buckets) {
            if (pair != null)
                pairSet.add(pair);
        }
        return pairSet;
    }

    /* 获取所有键 */
    public List<Integer> keySet() {
        List<Integer> keySet = new ArrayList<>();
        for (Pair pair : buckets) {
            if (pair != null)
                keySet.add(pair.key);
        }
        return keySet;
    }

    /* 获取所有值 */
    public List<String> valueSet() {
        List<String> valueSet = new ArrayList<>();
        for (Pair pair : buckets) {
            if (pair != null)
                valueSet.add(pair.val);
        }
        return valueSet;
    }

    /* 打印哈希表 */
    public void print() {
        for (Pair kv : pairSet()) {
            System.out.println(kv.key + " -> " + kv.val);
        }
    }
}

哈希冲突与扩容

本质上看，哈希函数的作用是将所有 key 构成的输入空间映射到数组所有索引构成的输出空间，而输入空间往往远大于输出空间。因此，理论上一定存在“多个输入对应相同输出”的情况。

对于上述示例中的哈希函数，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的输出结果也相同。例如，查询学号为 12836 和 20336 的两个学生时，我们得到：

12836 % 100 = 36
20336 % 100 = 36

如图 6-3 所示，两个学号指向了同一个姓名，这显然是不对的。我们将这种多个输入对应同一输出的情况称为「哈希冲突 hash collision」。

容易想到，哈希表容量 N 越大，多个 key 被分配到同一个桶中的概率就越低，冲突就越少。因此，我们可以通过扩容哈希表来减少哈希冲突。

如图 6-4 所示，扩容前键值对 (136, A) 和 (236, D) 发生冲突，扩容后冲突消失。

类似于数组扩容，哈希表扩容需将所有键值对从原哈希表迁移至新哈希表，非常耗时。并且由于哈希表容量 capacity 改变，我们需要通过哈希函数来重新计算所有键值对的存储位置，这进一步提高了扩容过程的计算开销。为此，编程语言通常会预留足够大的哈希表容量，防止频繁扩容。

「负载因子 load factor」是哈希表的一个重要概念，其定义为哈希表的元素数量除以桶数量，用于衡量哈希冲突的严重程度，也常被作为哈希表扩容的触发条件。例如在 Java 中，当负载因子超过 0.75 时，系统会将哈希表容量扩展为原先的 2 倍。

如何解决哈希冲突？

通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一桶索引。
哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们可以采用以下策略。

改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作。
仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。

链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。图 6-5 展示了一个链式地址哈希表的例子。

基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化。

查询元素：输入 key ，经过哈希函数得到桶索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
添加元素：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
删除元素：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。

链式地址存在以下局限性。

占用空间增大，链表包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间。
查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素。

以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意两点。

使用列表（动态数组）代替链表，从而简化代码。在这种设定下，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。

以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过 23 时，我们将哈希表扩容至 2 倍。

/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
int size; // 键值对数量
int capacity; // 哈希表容量
double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
int extendRatio; // 扩容倍数
List<List<Pair>> buckets; // 桶数组

/* 构造方法 */
public HashMapChaining() {
    size = 0;
    capacity = 4;
    loadThres = 2.0 / 3.0;
    extendRatio = 2;
    buckets = new ArrayList<>(capacity);
    for (int i = 0; i < capacity; i++) {
        buckets.add(new ArrayList<>());
    }
}

/* 哈希函数 */
int hashFunc(int key) {
    return key % capacity;
}

/* 负载因子 */
double loadFactor() {
    return (double) size / capacity;
}

/* 查询操作 */
String get(int key) {
    int index = hashFunc(key);
    List<Pair> bucket = buckets.get(index);
    // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
    for (Pair pair : bucket) {
        if (pair.key == key) {
            return pair.val;
        }
    }
    // 若未找到 key 则返回 null
    return null;
}

/* 添加操作 */
void put(int key, String val) {
    // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
    if (loadFactor() > loadThres) {
        extend();
    }
    int index = hashFunc(key);
    List<Pair> bucket = buckets.get(index);
    // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
    for (Pair pair : bucket) {
        if (pair.key == key) {
            pair.val = val;
            return;
        }
    }
    // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
    Pair pair = new Pair(key, val);
    bucket.add(pair);
    size++;
}

/* 删除操作 */
void remove(int key) {
    int index = hashFunc(key);
    List<Pair> bucket = buckets.get(index);
    // 遍历桶，从中删除键值对
    for (Pair pair : bucket) {
        if (pair.key == key) {
            bucket.remove(pair);
            size--;
            break;
        }
    }
}

/* 扩容哈希表 */
void extend() {
    // 暂存原哈希表
    List<List<Pair>> bucketsTmp = buckets;
    // 初始化扩容后的新哈希表
    capacity *= extendRatio;
    buckets = new ArrayList<>(capacity);
    for (int i = 0; i < capacity; i++) {
        buckets.add(new ArrayList<>());
    }
    size = 0;
    // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
    for (List<Pair> bucket : bucketsTmp) {
        for (Pair pair : bucket) {
            put(pair.key, pair.val);
        }
    }
}

/* 打印哈希表 */
void print() {
    for (List<Pair> bucket : buckets) {
        List<String> res = new ArrayList<>();
        for (Pair pair : bucket) {
            res.add(pair.key + " -> " + pair.val);
        }
        System.out.println(res);
    }
}
}

值得注意的是，当链表很长时，查询效率会退化为链表的 O(n) 。此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”，从而将查询操作的时间复杂度优化至 O(log⁡n) 。

开放寻址

「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。

下面将主要以线性探测为例，介绍开放寻址哈希表的工作机制与代码实现。

线性探测

线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同。

插入元素：通过哈希函数计算桶索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 1 ），直至找到空桶，将元素插入其中。
查找元素：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可；如果遇到空桶，说明目标元素不在哈希表中，返回 None 。

图 6-6 展示了开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布。根据此哈希函数，最后两位相同的 key 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测，它们被依次存储在该桶以及之下的桶中。

然而，线性探测容易产生“聚集现象”。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。

值得注意的是，我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 None ，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会返回，因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到，程序可能误判这些元素不存在。

为了解决该问题，我们可以采用「懒删除 lazy deletion」机制：它不直接从哈希表中移除元素，而是利用一个常量 TOMBSTONE 来标记这个桶。在该机制下，None 和 TOMBSTONE 都代表空桶，都可以放置键值对。但不同的是，线性探测到 TOMBSTONE 时应该继续遍历，因为其之下可能还存在键值对。

然而，懒删除可能会加速哈希表的性能退化。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记，随着 TOMBSTONE 的增加，搜索时间也会增加，因为线性探测可能需要跳过多个 TOMBSTONE 才能找到目标元素。

为此，考虑在线性探测中记录遇到的首个 TOMBSTONE 的索引，并将搜索到的目标元素与该 TOMBSTONE 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时，元素会被移动至距离理想位置（探测起始点）更近的桶，从而优化查询效率。

以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址（线性探测）哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间，我们将哈希表看作是一个“环形数组”，当越过数组尾部时，回到头部继续遍历。

/* 开放寻址哈希表 */
class HashMapOpenAddressing {
    private int size; // 键值对数量
    private int capacity = 4; // 哈希表容量
    private final double loadThres = 2.0 / 3.0; // 触发扩容的负载因子阈值
    private final int extendRatio = 2; // 扩容倍数
    private Pair[] buckets; // 桶数组
    private final Pair TOMBSTONE = new Pair(-1, "-1"); // 删除标记

    /* 构造方法 */
    public HashMapOpenAddressing() {
        size = 0;
        buckets = new Pair[capacity];
    }

    /* 哈希函数 */
    private int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
    }

    /* 负载因子 */
    private double loadFactor() {
        return (double) size / capacity;
    }

    /* 搜索 key 对应的桶索引 */
    private int findBucket(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        int firstTombstone = -1;
        // 线性探测，当遇到空桶时跳出
        while (buckets[index] != null) {
            // 若遇到 key ，返回对应桶索引
            if (buckets[index].key == key) {
                // 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引
                if (firstTombstone != -1) {
                    buckets[firstTombstone] = buckets[index];
                    buckets[index] = TOMBSTONE;
                    return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引
                }
                return index; // 返回桶索引
            }
            // 记录遇到的首个删除标记
            if (firstTombstone == -1 && buckets[index] == TOMBSTONE) {
                firstTombstone = index;
            }
            // 计算桶索引，越过尾部返回头部
            index = (index + 1) % capacity;
        }
        // 若 key 不存在，则返回添加点的索引
        return firstTombstone == -1 ? index : firstTombstone;
    }

    /* 查询操作 */
    public String get(int key) {
        // 搜索 key 对应的桶索引
        int index = findBucket(key);
        // 若找到键值对，则返回对应 val
        if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
            return buckets[index].val;
        }
        // 若键值对不存在，则返回 null
        return null;
    }

    /* 添加操作 */
    public void put(int key, String val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres) {
            extend();
        }
        // 搜索 key 对应的桶索引
        int index = findBucket(key);
        // 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
        if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
            buckets[index].val = val;
            return;
        }
        // 若键值对不存在，则添加该键值对
        buckets[index] = new Pair(key, val);
        size++;
    }

    /* 删除操作 */
    public void remove(int key) {
        // 搜索 key 对应的桶索引
        int index = findBucket(key);
        // 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
        if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
            buckets[index] = TOMBSTONE;
            size--;
        }
    }

    /* 扩容哈希表 */
    private void extend() {
        // 暂存原哈希表
        Pair[] bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets = new Pair[capacity];
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (Pair pair : bucketsTmp) {
            if (pair != null && pair != TOMBSTONE) {
                put(pair.key, pair.val);
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    public void print() {
        for (Pair pair : buckets) {
            if (pair == null) {
                System.out.println("null");
            } else if (pair == TOMBSTONE) {
                System.out.println("TOMBSTONE");
            } else {
                System.out.println(pair.key + " -> " + pair.val);
            }
        }
    }
}

平方探测

平方探测与线性探测类似，都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时，平方探测不是简单地跳过一个固定的步数，而是跳过“探测次数的平方”的步数，即 1,4,9,… 步。

平方探测主要具有以下优势。

平方探测通过跳过平方的距离，试图缓解线性探测的聚集效应。
平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置，有助于数据分布得更加均匀。
然而，平方探测也并不是完美的。
仍然存在聚集现象，即某些位置比其他位置更容易被占用。
由于平方的增长，平方探测可能不会探测整个哈希表，这意味着即使哈希表中有空桶，平方探测也可能无法访问到它。

多次哈希

建立公共溢出区（Public Overflow Area）

建立公共溢出区是一种解决哈希冲突的方法，当发生冲突时，将冲突的元素存储在一个单独的溢出区域中。在查询时，如果发现目标元素不在其哈希槽位中，就需要在溢出区域进行查找。这种方法可以避免链表或探测序列的使用，但可能导致性能下降和额外的存储开销。

编程语言的选择

各个编程语言采取了不同的哈希表实现策略，以下举几个例子。

Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。
Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶。当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。

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